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纪念钱令希院士诞辰100周年学术报告会 从祖冲之方法论看自主创新之路

发布日期:2016-05-15  来源:宣传部 作者:刘文娟  

钟万勰,中国科学院院士,计算力学专家。长期从事工程力学研究与应用。结合我国国情,发展了多种先进软件技术;在群论、极限分析、参变量变分原理等方面提出了重要的理论与方法,并组织开发了多种大型结构分析系统,如JIGFEX,DDJ/W 等,对于推动计算力学在我国工程界广泛应用起了重大作用。
中国古代数学是辉煌的,注重的是计算、应用方面,对于今天仍有重要意义。如今,计算机科学与理论、实验共同构成现代科学的3大支柱的观点,已经得到了广泛认同。将祖冲之方法论与分析力学相结合,突破辛局限性促进了力学的巨大进展。
传统辛数学与分析力学的局限
什么是辛?H.Weyl(外尔)在1939年研究对称性(Hamilton正则方程)引入Symplectic,华罗庚先生翻译为辛。数学家对辛数学的理解是从抽象几何角度讲的数学结构,如先定义微分形式的外乘积,然后是cartan几何。
历史上辛对称的概念是Hilbert的学生,大数学家H.Weyl在1939年研究一般对称性时,注意到分析动力学Hamilton正则方程的对称点而提出的。当年没有计算机,分析定力学Hamilton正则方程就是只讨论连续时间恒定维数的体系的,因此辛的局限性是与生俱来的。
传统的经典分析力学也有局限性。经典力学是自牛顿以来,吸引了最多一流数学家耕耘的园地。从牛顿开始的就是分析力学。长期以来专门论述约束动力系统微分-代数方程(DAE,Differen-tial-AlgebraicCEquation)的求解方法主要是先进行微商,将约束方程归到微分方程。看起来约束条件处处满足,而实际上数值结果的约束条件满足不行。加上微分形式如切从、余切从、外cartanC几何等远离了工程师的认识,高不可及,难以推广,效果并不理想。它的局限性在于全部都是微分,但在今天电脑时代、数字化时代,全部依靠微分这是不切合实际发展的。微分是强调无中小、无中大,纯粹是人脑中的一种概念,无法拿出具体的东西。在电脑上是无法表达无中小的。因此,今天无论如何需要面对离散系统,而一到离散的时候会有很多问题。过去的分析力学完全是微分几何,辛几何也是微分几何。它必然也会传承下来一些约束。传统经典分析力学的局限性具体体现在一:它奠基于连续时间的系统,但应用力学有限元、控制与信号处理等需要离散系统;二:动力学总是考虑同一个时间的位移向量,但应用力学有限元需要考虑不同时间的位移向量;三:动力学要求体系的维数自始至终不变,但应用力学有限元需要变动的维数;四:它认为物性是即时响应的,但时间滞后是常见的物性,例如粘弹性、控制理论等。
这些局限性表明传统分析力学还需要大力发展。当今世界发展趋势是数字化,离散处理是必然的。直视辛的局限性,破茧并拓展新层次,就要开阔思路,这也是我们的机会。
祖冲之方法论
中国古代数学家祖冲之用割圆法在计算圆周率时,已经达到3.1415926~3.1415927之间。祖冲之的方法就是用直径为1的正多角形边的总长度代替。只有多角形的角点,要求全部处于圆周上。角点的数目越多,多角形边的总长度就越逼近于圆的周长。只要划分65536的内接正多角形,就可以达到精度。显然,边两端的节点处于圆周上,满足了约束条件,而其连接直线(二维空间Euclid)度量下的短程线)则不在圆周上,没有满足约束条件。
祖冲之方法论给出的思路是约束条件不必处处满足,只要在节点处严格满足约束条件就可以了。割圆法有两个重要的思想,一是极限思想,二是无穷小分割。由此引申下去,其实很多基本的概念,如无穷序列、极限等思想早在中国古代数学中便有应用。
辛数学与力学的学科交叉
应用学中多门学科相互之间是密切关联的,它们应有一个公共的理论体系。受祖冲之方法论启发,对应用力学的一些学科分支引入辛数学体系,使两者互相渗透,为学科的发展提供了一个新的视角。
国外数学家大力发展许多差分算法,我国数学家冯康早先指出动力学微分方程是保守系统,其差分法积分格式应保辛。继而国外进行了许多研究,一批保辛差分算法相继出现。差分法意味着时间坐标要离散,连续时间系统要近似地转化到离散时间系统。离散时间系统的近似积分要保辛。而检验差分算法是否优越,大体上就用能量是否能守恒,或偏离最慢来判断,但保辛差分格式的积分得到的大量数值结果却未能保证能量守恒。从而使数学家出现了误判,认为不可积分系统,保辛近似算法不能使能量守恒。事实上,通过参变量方法运用拓扑学的同伦概念,能在保辛的同时也保证守恒。纯数学家认为逻辑严谨形式一般,从纯数学微分几何的角度,对微分方程讲述其数学结构,因此称为辛几何。应用力学引入辛数学是从结构力学与最优控制间的模拟关系切入的。因此,不用纯数学艰深的辛几何定义,不需要微分几何。
最小作用量原理:状态空间任意两点之间的距离本来不清楚,用作用量来顶替,作用量取最小就说通了。
辛对称:因为位移和动景、单位不同,所以不同于单纯位移空间,辛对称是位移-动景q-p状态空间的对称性。
辛矩阵:最简单的反对称矩阵,就是状态向量的传递矩阵。
传递辛矩阵:传递矩阵是沿结构长度方向的状态向量传递,每站只有一个位移,一个内力。辛与变形能的密切关系表面,保持辛结构,就是保持了变形能的特性,所以要保辛。
辛矩阵的乘法运算可达到保辛,最小势能原理与辛矩阵乘法具有一致性,然而辛矩阵的加法不能保辛。
早先在连续坐标微分方程的求解时结构力学提出了初参数法。初参数法指用一端的状态作为初始条件,其中一半的初始变量(初参数)为待定,积分到另一端,用其给定的端部边界条件以确定待定的初参数。从方法、概念的角度看,初参数法与传递辛矩阵法是相同的。传递矩阵法的求解就是离散坐标系统的初参数法,但初参数法没有强调传递矩阵的辛的特性。
三轴平移、镜像反射、差分……古代没有微积分,也没有数学分析。代数是处理离散对象的主要方法,今天的数学主要关注的是结构以及结构之间的关系。
变分原理的自主创新发展
变分原理的提出,由来已久。“大自然总是走最容易和最可能的途径”,这是Fermat著名的自然哲学原理。1744年,J.Bernoulli提出了“最速下降线”问题,大体上可认为数学变分法的开始。以后蓬勃发展,Euler-Lagrange方程,继而总结为Hamilton变分原理。分析动力学与相应的常微分方程理论的成功,自然要发展到偏微分方程。现在面对的世界偏微分方程这是自然而然的。位势理论,有Laplace,方程的求解,Green,Gauss等先后指出,可将其转化为变分原理。Riemann将其命名为Dirichlet原理,属于椭圆型偏微分方程理论。椭圆型偏微分方程理论,一开始蓬勃发展,然而在1870年发生了曲折,强调数学严格性的维尔斯特拉斯否定了Dirichlet原理;而数学物理中许多重要结果都依赖于此原理而建立。1899年,Hilbert用边界条件的光滑化保证了极小化函数的存在,从而挽救了Dirichlet原理。历史上变分原理经历了凤凰涅槃,在烈火中重生的过程。此后一个多世纪以来,变分原理有了巨大进展,从有限元法发展出来的“计算科学”也是变分法的发展;辛也属于变分法的发展。
钱令希教授曾在1950年提出“余能原理”变分原理。70年代初,国际上有限元法发展迅速。胡海昌教授认为状态空间的短程线是保辛,时间有限元法可自动保辛。后来“群论(对称性研究)”原理被引入计算机结构力学,达到国际先进水平。群论的发明,使代数研究进入新时代,即从局部性研究转向系统结构的整体性分析研究阶段。
80年代在新的极限分析上、下定理及吸取最优控制理论思想的基础上建立了参变量变分原理,构造了一套有效的参变量二次规划算法,W用于求解数学物理问题中具有不确定边界问题。
基于最小总势能原理的数值计算有严重的数值病态,此时可采取混合能变分原理。混合能变分原理用于微分方程求解与精细积分法。黎卡提方程是现代控制论中的关键性方程,将精细方程算法用于两点边值问题,再将结构力学中的混合能变分原理和子结构凝聚算法移植到最优控制,形成了黎卡提方程的精细积分法,获得了计算机上的精细解。精细积分法,精度高、稳定性好,冲破了传统的差分逐步积分法,如今精细积分方法已被扩展到广泛的工程和科学计算领域。
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